4. Číselné sústavy

Číselná sústava je spôsob, akým sú zapisované čísla pomocou znakov (nazývaných cifry).

Nepozičná číselná sústava

Nepozičná číselná sústava je spôsob reprezentácie čísel, v ktorom nie je hodnota číslice daná jej umiestnením v danej sekvencii číslic. Tieto spôsoby zápisu čísel sa dnes už takmer nepoužívajú a sú považované za zastarané.

V najjednoduchšom systéme stačí sčítať hodnoty jednotlivých číslic. Ak by napríklad boli hodnoty symbolov nasledovné: A = 1, B = 10, C = 100, D = 1000, potom by vyjadrením čísla 3542 mohol byť napríklad reťazec "AABBBBCCCCCDDD", ale rovnako dobre aj "ACDABBCCCCDDBB" a pod. (z hľadiska hodnoty, ale za cenu horšej zrozumiteľnosti).

Nevýhody

  • Často neobsahovali symbol pre nulu a záporné čísla
  • Dlhý zápis čísel, ktorá výrazne prevyšujú hodnotu najväčšieho symbolu sústavy

Výhody: Jednoduché sčítanie a odčítanie

Rímske číslice sú spôsob zápisu čísiel pomocou písmen abecedy. Ešte v 19. storočí bola veľmi rozšírená. Dnes sa používa zriedkavo, napríklad čísla kapitol v knihách.

Základné symboly:

  • I = 1
  • V = 5
  • X = 10
  • L = 50
  • C = 100
  • D = 500
  • M = 1 000

Spájaním a opakovaním sa zapisujú väčšie čísla, väčšie číslice predchádzajú menším. Napríklad VI je 6, CLXXIII je 173, MDCCCXXII je 1822. Rimania písali číslo 4 ako IIII, číslo 40 ako XXXX, číslo 999 ako DCCCCLXXXXVIIII. Ku skráteniu zápisu dlhých čísiel sa v stredoveku používalo pravidlo pre odčítanie, použilo sa šesť zložených symbolov, v ktorých menšia číslica predchádza väčšej:

  • IV = 4
  • IX = 9
  • XL = 40
  • XC = 90
  • CD = 400
  • CM = 900

Pri použití tohto pravidla možno číslo 999 napísať úspornejším spôsobom CMXCIX. Používanie iných symbolov nie je dovolené. Preto nemožno napísať 999 ako IM. Na druhej strane ale používanie tohto pravidla nie je povinné. Číslicu 4 možno napísať správne ako IV aj ako IIII.

Neskôr sa používajli aj malé písmená, napr. vi znamená 6 a cxiv 114. Niekedy sú miešané, napr. Cxl pre 140. Niekedy sa dokonca používa namiesto malého i písmeno j. Niekedy sa používa písmeno j iba ako posledný znak v slede jednotiek, napr. xxiij pre 23.

Pozičná číselná sústava

Pozičná číselná sústava je dnes prevládajúci spôsob písomnej reprezentácie čísel. Váha každej číslice je daná jej pozíciou v postupnosti symbolov. Základ je zvyčajne prirodzené číslo väčšie ako jedna. Váhy jednotlivých číslic sú potom mocninami tohto základu. Zároveň základ určuje počet symbolov pre číslice používané v danej sústave. V pozičných číselných sústavách má tiež zmysel hovoriť o rádoch čísel. Kde za rád číslice považujeme jej váhu a za rád čísla maximálnu váhu nenulovej číslice.

Desiatková sústava, nazvaná podľa svojho základu (10) má desať symbolov pre číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Váhy jednotlivých číslic sú mocniny čísla 10: ...; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; ... Pre sústavy o vyššom základe ako je tradičný počet číslic (teda desať) sa pre vyššie číslice používajú písmená bez akcentov. Napríklad šestnástková sústava má symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pričom A = 10, B = 11... F = 15.

V bežne používaných číselných sústavách sa jednotlivé číslice zapisujú za seba, nijako sa neoddeľujú. Čiarka odlišuje len celú a zlomkovú časť čísla. Niekedy sa pre prehľadnosť oddeľujú tiež významnejšie rády: tisíce, milióny, a pod. Číslo sa zapíše do zátvoriek za ktorou je dolný index so základom. V prípade desiatkovej sústavy sa číslo nemusí zapisovať do zátvoriek, ani nie je nutné k nemu písať jeho základ.

Hodnotu čísla zapísanáho v danej sústave získame ako súčet hodnôt jednotlivých číslic vynásobených ich váhou. Napríklad:

(10010)2 = 0 ⋅ 20 + 1 ⋅ 21 + 0 ⋅ 22 + 0 ⋅ 23 + 1 ⋅ 24 = 0 + 2 + 0 + 0 + 16 = 18

(152)8 = 2 ⋅ 80 + 5 ⋅ 81 + 2 ⋅ 83 = 2 + 40 + 64 = 105

(A3F)16 = 15 ⋅ 160 + 3 ⋅ 161 + 10 ⋅ 162 = 15 + 48 + 2560 = 2623

Postup pre zápis čísla v danej číselnej sústave sa líši pre jeho celú a zlomkovú časť.

Celá časť čísla (metóda delenia základom) možno vypočítať takto:

  1. Prepočítavané číslo celočíselne delíme základom cieľovej sústavy.
  2. Z podielu zapíšeme celé číslo a zvyšok po delení.
  3. Výsledok delenia použijeme v ďalšom cykle algoritmu.
  4. Predchádzajúce kroky opakujeme, kým nie je výsledkom delenia nula.
  5. Prepočítané číslo je zápis zvyškov po delení v opačnom poradí ako sa vypočítali.

Príklad: (152)10= (x)2:

152 : 2 = 76 zv. 0
79 : 2 = 38 zv. 0
38 : 2 = 19 zv. 0
19 : 2 = 9 zv. 1
9 : 2 = 4 zv. 1
4 : 2 = 2 zv. 0
2 : 2 = 1 zv. 0
1 : 2 = 0 zv. 1

Výsledok: (152)10= (10011000)2

Zlomková časť čísla (metóda násobenia základom) sa vyráta podobne, len namiesto delenia sa násobí. Postup je nasledujúci:

  1. Zlomkovú (desatinnú) časť násobíme základom cieľovej sústavy.
  2. Výsledok zapíšeme ako súčet celej a zlomkovej časti. Zlomkovú časť použijeme v ďalšom opakovaní tohto násobenia.
  3. Predchádzajúce kroky sa opakujú, až kým nie je dosiahnutý zvyšok 0 alebo požadovaná presnosť výsledku
  4. Cela časť získaného čísla je príslušnou číslicou požadovaného zápisu v inej číselnej sústave. Zapisuje sa od desatinnej čiarky doprava v poradí ako bola vypočítaná.
  5. Príklad. (0,6789)10= (x)2:

    0,678 9 ⋅ 2 = 1,357 8 = 1 + 0,357 8
    0,357 8 ⋅ 2 = 0,715 6 = 0 + 0,715 6
    0,715 6 ⋅ 2 = 1,431 2 = 1 + 0,431 2
    0,431 2 ⋅ 2 = 0,862 4 = 0 + 0,862 4
    0,862 4 ⋅ 2 = 1,724 8 = 1 + 0,724 8

    Výsledok je (0,6789)10= (0,10101)2.

    Priame prevody medzi sústavami sú možné, ak základ jednej sústavy je mocninou základu sústavy druhej. Obvykle sa tento postup používa pri prevode medzi dvojkovou a šestnástkovou. Pretože je 16=24, zodpovedá každým štyrom čísliciam dvojkového čísla práve jedna číslica šestnástková. Napríklad číslo (10010001)2obsahuje 2 štvorice znakov (1001)2 = (9)16 a (0001)2 = (1)16 a preto (10010001)2=(91)16. Pri priamom prevode zo 16-kovej do 2-kovej sústavy stačí nahradiť každý znak 16-kovej sústavy kombináciou dvojkových číslic:

    0 = 0000
    1 = 0001
    2 = 0010
    3 = 0011
    4 = 0100
    5 = 0101
    6 = 0110
    7 = 0111
    8 = 1000
    9 = 1001
    A = 1010
    B = 1011
    C = 1100
    D = 1101
    E = 1110
    F = 1111

    Napríklad (A2)16 = (1010 0010)2.

    Otázky na opakovanie

    1. Zapíšte rímskymi číslicami 2018.
    2. Zapíšte v desiatkovej sústave (1011)2
    3. Prepočítajte do dvojkovej sústavy 14,25
    4. Spravte priamy prevod medzi sústavami (10110011)2 = (x)16 ; (A2)16 = (x)2